METODE POSISI PALSU
1.
Pengertian
Metode posisi
palsu adalah metoda pencarian akar persamaan dengan
memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval yang mengurung
akar. Metode ini merupakan salah satu alternatif untuk mempercepat konvergensi.
Metode posisi palsu mirip dengan metode bagi dua.
Kemiripannya terletak dalam hal diperlukan dua harga taksiran awal pada awal
pengurungan akar persamaan. Sedangkan, perbedaannya terletak pada proses pencarian
pendekatan akar persamaan selanjutnya setelah pendekatan akar saat ini
ditemukan.
Prinsip
pencarian akar persamaan dari metode ini didasarkan pada penggunaan interpolasi
linier. Interpolasi linier 1 dilakukan melalui dua titik pertama. Garis
interpolasi memotong sumbu x dan di titik perpotongan tersebut kita dapatkan
pendekatan akar yang pertama. Kemudian pendekatan tersbut dievaluasi pada
fungsi non linier sehingga diperoleh titik pada fungsi nonlinier tersebut.
Kemudian dilakukan lagi interpolasi melalui ujung sebelumnya dan diperoleh
pendekatan akar berikutnya. Demikian seterusnya, hingga diperoleh harga
pendekatan akar yang sudah sangat dekat dengan akar persamaan eksaknya.
Perhatikan pula bahwa titik tolak interpolasi berasal dari satu titik tertentu.
Gambar
Grafik Metode Posisi Palsu
Jika sebuah akar persamaan berada pada interval [ xa , xb ] ,
maka fungsi linier yang melalui titik (
dan
dapat
dituliskan sebagai berikut :
Selanjutnya, jika pernyataan di atas dinyatakan
dalam
,
maka dapat ditulis sebagai berikut :
Saat garis interpolasi memotong sumbu x di
titik
,
dimana harga
dinyatakan oleh :
Setelah menemukan titik
maka sekarang interval
di bagi menjadi
dan
. Apabila dipenuhi
, maka akar yang dicari berada di dalam interval [ xa , xc ] ,
sebaliknya jika
atau
, maka akar tersebut berada di dalam interval [ xc , xb] . Sekarang
diupdate harga xb yang baru dengan harga xc yang baru saja kita peroleh,
sehingga pencarian akar persamaan tetap pada interval [ xa , xb ] .
Prosedur interpolasi diulang lagi hingga akar taksiran mencapai konvergen ke
akar sebenarnya.
2.
Keunggulan dan Kelemahan Metode Posisi Palsu
Ø
Keunggulan :
·
Lebih cepat mendapatkan hampiran akar fungsi
·
Hasil yang didapat lebih mendekati akar
·
Hasilnya sudah pasti konvergen
Ø
Kelemahan :
·
Kelemahan dari metode posisi palsu ini adalah bahwa salah satu
ujungnya tidak mengalami perpindahan atau stagnan. Denga demikian pendekatan ke
harga akar sebenarnya hanya berasal dari salah satu ujung saja.
3.
Langkah-langkah Metode Posisi Palsu
1.
Perkirakan akar fungsi
2.
Menentukan batas awal yang mengurung akar fungsi
3.
Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi pada kedua
batas, lalu cari titik potongnya (titik posisi palsu)
4.
Geser salah satu batas ke titik potong itu, sementara
batas lain tidak berubah. Ulangi langkah 3
5.
Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup yakni syarat
kesalahan relatifnya terpenuhi. E = (r baru- r lama) / r baru
6.
Titik potong yg terakhir dinyatakan sebagai akar
fungsi
4.
Algoritma Metode Posisi Palsu
Algoritma metode posisi palsu dapat
dinyatakan sebagai berikut :
1.
Berikan terkaan awal xa dan xb yang mengurung
akar persamaan.
2.
Untuk menguji bahwa terkaan awal mengurung akar persamaan maka
ujilah apakah
, jika ya maka terkaan kita sudah benar.
3.
Tentukan salah satu titik yang akan digunakan sebagai titik tolak
interpolasi linier misalnya
.
4.
Tentukan xc dengan
cara
atau
5.
Update harga
dengan
dan
dengan
.
6.
Ulangi Proses dari poin 4 hingga ditemukan
harga
yang sudah sangat dengan akar sebenarnya .
5.
Program Matlab dengan Menggunakan Metode Posisi Palsu
Dengan soal sebagai berikut :
F(x) = x^3+x^2-3*x-3=0
a=1, b=2, epsilon=0.001
Ø
Perintah program :
syms x;
f=input('masukkan persamaan f(x): ');
a=input('masukkan nilai a : ');
b=input('masukkan nilai b : ');
et=input('masukkan Error Toleransi : ');
e=abs(b-a)/b;
i=1;
disp(' i a b
c f(a) f(b)
f(c) E');
disp('----------------------------------------------------------');
clama=a;
cbaru=b;
while (e > et ) & (clama ~= cbaru);
fa=subs(f,x,a);
fb=subs(f,x,b);
%c=(a+b)/2;
clama=cbaru;
c=(fb*a-fa*b)/(fb-fa);
cbaru=c;
fc= subs(f,x,c);
fprintf('%3.0f %6.4f %6.4f %12.10f %7.4f %7.4f %7.4f %7.4f \n', i, a, b,
c, fa, fb, fc, e);
if fa*fc < 0
b=c; %geser kiri
else
a=c; %geser kanan
end
e=abs(cbaru-clama)/clama; %
menghitung error
i=i+1;
end
Contoh soal :
1.
Hitung persamaan dari
, dengan
interval
2.
Hitung persamaan dari
, pada interval
awal, misal
,
Tidak ada komentar:
Posting Komentar